一、两退化点抛物方程解的存在性和唯一性（论文文献综述）
解春雷[1]（2021）在《一类弱退化抛物方程在边界控制下的近似可控性》文中研究说明本文研究的是一类退化抛物方程的边界控制问题,其中控制函数作用在退化边界上,并且边界条件为第二边界条件.本文得到了该问题的近似可控性.证明结果显示:对于任意的一个目标函数,都可以找到一个控制函数,使得该问题的解在有限时间内可以充分接近目标函数.本文第一章介绍了此类问题的背景,国内外的相关工作以及本论文中研究的主要问题,方法和结果.本文第二章研究了一类含对流项的线性退化抛物方程,并证明了这类方程在边界控制下的近似可控性.以往关于含对流项的退化抛物方程可控性理论的研究都是关于对流项依赖扩散项的,而本文则考虑了对流项不依赖于扩散项的情形.通过待定指数法建立新的Carleman估计,进而对退化抛物方程边界控制问题的近似可控性进行了研究.本文第三章研究了半线性退化抛物方程的近似可控性.众所周知,非线性问题近似可控性证明的难点在于对线性化后的问题及其共轭问题的解做适当的紧性估计,这需要给出更为精确的紧性估计.首先将半线性问题线性化,建立线性问题的适定性,进一步证明线性问题的近似可控性.其次对线性问题的解和其对偶问题做必要的紧性估计.最后根据Kakutani不动点定理证明半线性问题是近似可控性的.本文第四章总结了论文中得到的主要结果以及论文中的新方法和新思路.
杨洪[2]（2018）在《几类生物动力学模型的稳定性与分支分析》文中进行了进一步梳理本文主要研究了几类生物动力学模型的稳定性和分支问题。此类问题的研究有助于了解自然界的时空模式。本文主要利用Lyapunov方法、单调性方法、稳态解全局分支定理和一致持久性理论,研究了系统的一致持久性、稳态解的全局吸引性、稳态分支和Hopf分支。首先,对具有时滞和一般接触率的宿主病毒模型,分别在不具有免疫反应和具有免疫反应的情形下,得到了解的正性和最终有界性。在此基础上,当基本再生数满足一定条件时,利用LaSalle不变集原理,证明了无病平衡点和染病平衡点的全局吸引性。其次,对具有零通量边界条件和一般接触率的扩散宿主病毒模型,该模型是退化型反应扩散方程,其解半流是非紧的,需要利用Arzela-Ascoli定理,证明系统的解半流是渐近紧的,利用非紧性Kuratowski测度,证明系统解半流是κ-压缩的,进一步,得到解半流全局吸引子的存在性;再利用比较原理和一致持久性理论,在不同条件下分别证明了无病稳态解的全局吸引性和系统的一致持久性。在齐次环境下,构造Lyapunov函数,证明了无病平衡点和染病平衡点的全局吸引性。再次,研究了具有时滞和齐次Neumann边界条件的扩散宿主病毒模型。由于时滞的影响,系统解半流所在的相空间不同于无时滞系统解半流所在的相空间。在非齐次环境下,根据基本再生数与相应特征值问题的主特征值之间的关系,利用单调性的方法和一致持久性理论,并借助无时滞系统相应的结论,在不同条件下分别证明了无病稳态解的全局吸引性和系统的一致持久性。在齐次的环境下,利用不变集原理,证明了系统的解收敛到平衡点。在源函数分别是空间非齐次和齐次的情况下,对系统进行数值模拟。最后,研究了具有毒素影响的浮游生物模型。分别在无扩散（常微分方程）和有扩散（偏微分方程）的情况下,分析了系统的动力学性质。对于无扩散的情形,利用Poincar′e-Bendixson定理,得到系统的双稳结构;针对于有扩散的情形,在齐次Neumann边界条件下,给出了正稳态解的先验估计,得到了非常值正稳态解的存在性和不存在性,以及在一定条件下扩散能导致稳态模式形成。此外,还给出了此系统稳态分支和Hopf分支的存在性条件。
李玲飞[3]（2018）在《几类抛物系统的稳定性和能稳性》文中研究指明本文主要研究了几类抛物系统的稳定性和能稳性.对于非柱状区域上的热方程和具有时变系数的热方程,我们研究了系统的稳定性和施加边界控制的快速指数能稳性.对于非柱状区域上退化的热方程,我们研究了系统的稳定性.对于具有记忆的热方程,我们研究了系统的稳定性和指数能稳性.本文的内容分为四部分,每一部分单独一章.在本文的第一部分（第2章）中,我们致力于研究非柱状区域上热方程的稳定性和能稳性.首先利用待定函数法和相似变换求出系统的特殊解,对其进行估计得到:对于某些边界,系统是做不到（类）指数稳定的.利用能量估计和比较原理得到系统的稳定性.最后利用Back-stepping 方法我们得到了一维系统的快速指数能稳性.在本文的第二部分（第3章）中,我们致力于研究两类具有时变系数的热方程的能稳性.对于这两类系统,先给出了系统的非指数稳定性,后利用Backstepping方法证明了系统的快速指数能稳性.在本文的第三部分（第4章）中,我们致力于研究非柱状区域上退化热方程的稳定性.首先利用加权的哈代不等式和边界提升的方法证明了柱状区域上退化热方程的指数稳定性和快速指数能稳性.然后根据退化指标的不同分析了非柱状区域上退化热方程系统的稳定性.最后我们将有退化和无退化时的结果进行比较得到:对于非柱状区域上的系统,退化起了好的作用.在本文的第四部分（第5章）中,我们致力于研究具有记忆的热方程的稳定性和能稳性.当记忆核是正数时系统不衰减;当记忆核是负数时系统仅仅是多项式稳定的.特别地,系统的初值可分为两类:一类使得系统的解是指数稳定的;另一类使得系统仅仅是多项式稳定的.最后利用边界齐次化方法得到了系统的指数能稳性.
张牧明[4]（2016）在《退化双曲方程的能控性和Ginzburg-Landau方程的不灵敏控制》文中认为本文主要研究了一维退化双曲方程的能控性和Ginzburg-Landau方程的不灵敏控制问题.对退化双曲方程.根据控制所施加的位置不同.我们分别研究了其边界能控性和内部能控性:而对于某些不能做到零能控的退化双曲方程.我们研究其较弱的能控性质.包括区域能控性和延迟区域能控性.Ginzburg-Landau方程可以描述非线性波的许多超导现象并且在振幅方程理论中起到重要作用.我们主要研究非线性Ginzburg-Landau方程不灵敏控制的存在性.本论文的主要内容分为以下四部分.在本文的第2章中,我们致力于研究一类具有齐次Dirichlet边界条件和内部控制的非线性复Ginzburg-Landau方程不灵敏控制的存在性.当方程中的非线性项在无穷远处满足适当的超线性增长条件时.我们证明了相应半线性Ginzburg-Landau方程不灵敏控制的存在性.同时.当方程中非线性项仅是光滑函数不加任何增长条件时,我们得到了不灵敏控制的局部性结果.按通常的方法,我们将不灵敏控制问题转化为一个线性和半线性Ginzburg-Landau 方程耦合而成的方程组在单个控制下的能控性问题,关键是建立线性耦合 Ginzburg-Landau方程组在单个观测下的一个能观不等式.在本文的第3章中.我们致力于研究一维线性退化双曲方程的边界零能控问题.因退化双曲方程仍具有时间可逆性,所以其零能控与精确能控等价.首先,我们讨论了线性退化双曲方程的适定性.然后.给出了当控制施加在非退化边界时某些退化双曲方程的零能控性.不同于已知的控制施加在退化边界的能控性结果,在这种情况下状态空间中的任意初值都是零能控的.同时,我们给出了能控性时间的精确表达式.另外.对某些其他的退化双曲方程我们给出了不零能控的反例.在本文的第4章中,我们致力于研究一维半线性退化双曲方程的内部零能控问题.应用Hilbert唯一性方法,我们需建立线性退化双曲方程的一个能观性估计.由特征线法我们先证明退化双曲方程的唯一延拓性,再由唯一延拓性结合乘子法证明能观不等式.关键在于乘子的构造.在本文的第5章中,我们致力于研究一维线性退化双曲方程施加内部控制时的延迟区域零能控问题.不同于非退化双曲方程,对某些退化双曲方程经典的零能控结果不成立.因此,引入了延迟区域零能控性,它意味着找一个控制使得退化双曲方程的相应状态在空间区域的某个子集里和一段时间内恒为零.为此.我们先建立退化双曲方程的区域零能控性.此问题也可转化为线性退化双曲方程一个适当的能观性问题.关键是构造合适的乘子来证明此能观不等式.
董亚莹[5]（2016）在《三类反应扩散方程的正解》文中研究说明本文借助于非线性泛函分析和反应扩散方程中的隐函数定理、分歧理论、拓扑度理论、上下解方法、椭圆与抛物方程的比较原理、正则化理论、稳定性理论以及MATLAB数值模拟方法,具体研究了齐次Dirichlet边界条件下带有C-M反应函数的Lotka-Volterra捕食-食饵模型、齐次Neumann边值条件下Lengyel-Epstein反应扩散模型和带有Degn-Harrison反应项的化学模型.第一章中,首先介绍了Lotka-Volterra捕食-食饵模型、Lengyel-Epstein反应扩散模型和带有Degn-Harrison反应项的化学模型的研究背景及研究现状,其次,介绍了本文的主要工作.第二章中,研究了齐次Dirichlet边界条件下带有C-M反应函数的捕食-食饵模型.首先利用分歧理论证明了模型正解的存在性和揭示了正解的分歧结构.然后,分析了某个参数充分大时,正解的唯一性和稳定性.另外,通过一些特定的不等式,得到了正解唯一性的充分条件.进而,讨论了抛物系统正解的灭绝性和持久性.最后,利用MATLAB数值模拟,验证了前面所得到的理论结果.第三章中,继续研究了齐次Dirichlet边界条件下带有C-M反应函数的捕食-食饵模型.首先陈述了一些已知结果,给出存在正解的充分条件.进一步,详细分析了参数α对模型正解的影响.通过分析α→∞时正解的渐近行为,对模型正解的多重性、唯一性和稳定性有了全面的理解.第四章中,在文献[78,79]的工作基础上,继续研究了齐次Neumann边值条件下Lengyel-Epstein反应扩散模型.我们首先研究了系统非常数正解的基本性质.另一方面,我们继续探讨了扩散系数d对系统非常数正解的影响,利用隐函数定理得到了另一个正解不存在性结果.之后,讨论了发自（u*，υ*）处简单特征值的分歧解的分歧方向.这些结果进一步完善了Lengyel-Epstein反应扩散模型的Turing模式.第五章中,研究了在齐次Neumann边界条件下带有Degn-Harrison反应项的化学模型.首先分别得到常微分方程和偏微分方程的Hopf分歧的存在性.其次,利用中心流形定理,建立了分歧方向和周期解的稳定性.
林丽容[6]（2013）在《一类非线性抛物方程反问题适定性之研究》文中研究指明本文主要内容包含三部分.第一部分讨论一类奇异抛物方程解的存在性问题,第二部分讨论一类退化抛物方程反问题解的存在唯一性及稳定性,第三部分讨论一维抛物方程反问题的数值解.一.讨论奇异抛物方程ut=△um-cup（0<m<1,p>0,c>0）的第二边值问题,证明了如下结论：（1）局部解的存在性；（2）整体解存在的充要条件.二.讨论退化抛物方程ut=△um+cu（m>1,c>0）反演未知系数c的第二边值反问题,证明了如下结论：（1）当c为常数时,在附加条件∫Ωu（x,T）dx=α下,得到了c的显式表达式且证明了反问题解的存在唯一性以及关于附加条件的稳定性；（2）当c为函数c（t）时,在附加条件∫Ωu（x,t）dx=h（t）下,证明了反问题解的存在性.三.讨论一维抛物方程ut=（um）xx+c（t）u（m≥1）在附加条件u（l/2,t）=g（t）下反演未知系数c（t）的第一边值反问题的数值解,证明了（1）解的存在性；（2）解的稳定性；（3）解的收敛性并给出了收敛阶数.
孙鹏[7]（2011）在《几种非线性发展型方程解的爆破性》文中研究表明随着现代科学技术日新月异的发展,在物理学、化学、生物学、工程科学等许多科学领域,都不断的提出了大量的数学模型,其中很多模型都广泛的涉及到了一些发展型的抛物方程.这些提出的方程往往都是非线性的,而且具有退化性和奇异性.近几十年来,在对这些抛物方程问题的研究上,很多学者都取得了重大的进展.本文主要研究了发展型的双重退化抛物方程,带有非局部边界条件和移动局部源的多孔介质方程,以及带有时间延迟及动态边界条件的抛物方程,所讨论的问题包括非线性源,非局部边界条件,移动局部源,非局部源以及动态边界条件对方程解的爆破的临界指标的影响.本文共分三章,主要内容如下：在第一章中,我们主要研究如下的非牛顿多方渗流方程Cauchy问题正解的存在性和爆破性这里p>1,q>max{1,m（p-1）),m≥1,并且ω（x）（?）0和u0（x）均为Rn上的非负函数.这一章主要的目的是研究问题（1）正解的性质.当m（p-1）≥1时,方程具有退化性和奇异性,即如果m>1或p>2,则方程在u（x,t）=0或|▽u（x,t）|=0处具有退化点；而如果0<m<1或1<p<2,则方程在u（x,t）=0或|▽u（x,t）|=0处具有奇异点.我们将证明qc=（p-1）nm/（n-p）是问题（1）的临界指标.确切地说,如果q<qc,则（1）的正解对于任何非负初值总是爆破的；如果q>qc,则对一些适当大的初始条件,（1）的解在有限时刻爆破,并且若初始条件适当小,则其解是全局存在的；而如果q=qc,则（1）的解总是在有限时刻爆破.我们的主要方法是先给出问题的弱解定义,然后研究其局部存在性,再给出比较原理和解的先验估计,最后证明弱解的存在性和爆破性的结论.定义1称u（x,t）为（1）在QT（?）Rn×（0,T）上的一个弱解,如果且满足本章的主要结论如下：定理1设并且ω（x）（?）0和u0（x）均为Rn中的非负函数.（a）若则（1）的所有正解在有限时刻爆破；（b）若则（1）的所有正解在有限时刻爆破；（c）若则对于和（1）存在一个全局解,这里χ和Ci（i=1,2）是正常数.定理2设p>1,q>max{1,m（p-1）},m≥1,并且ω（x）（?）0和u0（x）均为Rn上的非负函数.若n≤p,则（1）的所有正解在有限时刻爆破.在第二章,我们考虑如下带有非局部边界条件和移动局部源的多孔介质方程的正解这里m>1是一个常数,Ω是RN（N>1）空间中带有光滑边界（?）Q的有界域.k（x,y）（?）0,x∈（?）Ω,且y∈Ω为一个非负连续函数,而u0（x）为一个非负连续函数并满足相容性条件且当x∈（?）Q时u0（x）=∫Ωk（x,y）uo（y）dy.xo（t）是一个从R+到K的连续可微函数,在Ω中有一个确定的紧支集.f（s）满足如下假设条件：（H1） f（s）∈O[0,∞)∩C1（0,∞）；（H2） f（O）≥0且f’（s）>0,s∈（0,∞）.首先定义问题（2）的上解和下解.定义2函数u称为问题（2）在QT上的下解,如果u∈C2,1（QT）∩C（QT∪ΓT）满足只须将上述定义中每个不等式反向,即可类似的得到该问题上解的定义.接下来建立关于问题（2）的比较原理,然后用比较原理证明该问题古典解的全局存在性和爆破性的结果.定理3设u和v为问题（2）相应的下解和上解,当x∈Ω,有u（x,0）≤v（x,0）,如果对某些δ>0,有v≥δ或u≥δ成立,则在QT上有u≤v.与齐次Dirichlet边界条件相比,权重函数k（x,y）在问题（2）解的全局存在或爆破性的讨论中起到了更加重要的作用.本章的主要结论如下：定理4假设∫Ωk（x,y）dy=1对x∈（?）Q且f（s）满足条件（H1）和（H2）,则当时,问题（2）的解全局存在,而当且对于sn>0时,问题（2）的解在有限时刻爆破.定理5假设∫Ωk（x,y）dy>1当x∈（?）Ω.如果有则问题（2）的解在有限时刻爆破.定理6假设∫Ωk（x,y）dy<1其中x∈（?）Ω,且f（s）满足条件（H1）和（H2）.（1）当时,问题（2）的所有解全局存在；（2）若则当u0（x）适当小时,问题（2）的所有解全局存在.为了证明在条件∫Ωk（x,y）dy<1下（2）解的爆破结果,我们需要补充如下条件：（H1’）f（s）∈C1[0,∞),sm-1/f’（s）在（0,∞）上是非减的,而且对某些so>0,有∫so∞f（s）/sm-1＜+∞不难看出,满足条件（H1’）的f（s）是容易找到的,比如常见的指数函数f（s）=es或多项式函数f（s）=sp（p>m）.定理7假设f（s）满足条件（H1’）和（H2）,而且uo（x）充分大,则问题（2）的惟一解u（x,t）在有限时刻爆破.在本章的最后,我们又给出了问题（2）解的全局爆破结果.定义3假设u（x,t）在有限时刻T爆破.我们称x*为u（x,t）的一个爆破点,若满足lim sup u（x*,t）=+∞.如果在Ω内的每个点均为爆破点,我们就称爆破是全局的.于是我们得到：定理8如果问题（2）的解u（x,t）在有限时刻T爆破,则u（x,t）全局爆破.在第三章中,我们考虑如下非线性抛物方程在带有时间延迟及动态边界条件下的解u（x,t）的爆破现象：其中1≤k<p∈R,m∈N,m≥2,其中2k+1<p∈R,k,m∈N.假设Ω为Rn中的有界区域,其边界（?）Ω是C2的.在其侧边界上,考虑动态边界条件,包括外法方向导数以及对时间变量的导数.外法方向和外法方向导数分别用v:（?）Ω→Rn及（?）v表示.另外我们假设耗散条件为σ（x,t）≥0,在（?）Ω×（0,∞）上考虑到古典解的情况,设б（x,t）∈O1(aΩ×（0,∞）.对于初值条件,我们要求φ（x）∈C（Ω）,φ（x）≥0,φ（x）≠0.本章的主要结论如下：定理9假设p>k≥m+1时,若满足下列条件之一（1）当时,且（2）当时,且则问题（3）的非负解u（x,t）在有限时刻T爆破,注1此问题可以推广到Neumann边值下的问题.注2方程中的exp（pu）换成f（u）≥Mexp（ku）,结论也成立定理10假设p>2k+1,则问题（4）的非负解u（x,t）在有限时刻T爆破,注3此定理可以推广到f（u）≥α|u|p的情形.
林雪清[8]（2011）在《一类抛物方程（组）适定性的若干性质之研究》文中认为本文主要内容包括两部分.第一部分讨论一类带对流项的奇异扩散方程的齐次Neu-mann问题,第二部分讨论一类线性抛物方程组反问题解的存在唯一性及稳定性.I.讨论了带对流项的奇异扩散方程的齐次Neumann问题:（?）本文得到了如下结论:（1）整体解的存在唯一性;（2）解的线性逼近性质,即证明此非线性问题的解u与具相同初值的线性问题:（?）（3）解的非线性逼近性质,即证明此非线性问题的解u与具有相同初值的非线性问题:（?）（4）解的渐近性质,本文给出的误差估计式是:（?）II.讨论了一类线性抛物方程组反演方程中的未知扩散项系数、未知边值、未知源项的反问题.证明了反问题解的存在唯一性,给出了具体的解的表达式,同时分析了反问题条件的稳定性.对于（?）联立而成的方程组,我们有:结论1 t1∈（0,T）给定,若k1, k2 > 0是未知常数,则此反问题存在唯一解{k1,k2,u,v},并且满足上面的方程以及附加条件:α=∫0∞u（x,t1）dx,β=∫0∞v（x,t1）dx,且k1, k2关于附加条件在L∞意义下稳定;结论2若g1（t）, g2（t）为未知函数,则此反问题存在唯一的解{g1（t）,g2（t）,u,v},并且满足上面的方程以及附加条件: h1（t） =∫0∞u（x,t）dx, h2(t∫0∞v（x,t）dx,且g1（t）, g2（t）关于附加条件在L1（0,T）意义下稳定;结论3对于（?）联立而成的方程组,若φ1（t）,φ2（t）为未知函数,则此反问题存在唯一的解{φ1（t）,φ2（t）,u,v},并且满足上面的方程以及附加条件: h1（t） =∫0∞u（x,t）dx, h2（t） =∫0∞v（x,t）dx.
李洪涛[9]（2010）在《关于退化发展型方程长时间行为的研究》文中研究指明本篇博士论文主要研究下面两类带有Dirichlet边界条件的退化发展型方程和的整体解的存在性,正则性以及对应半群在不同拓扑下的全局吸引子的存在性,其中a∈C（Ω）,且在Ω的零测闭子集F上,a（x）=0,而当x∈ΩF户时,a（x）>0.进一步,我们还假设存在α>0,使得a（x）满足从某种意义来看,α反映了方程的退化程度.由于方程可以在一个零测闭集上退化（不仅可以在区域边界上退化,同时也可以在区域内部退化）,即,方程的退化点可以有无穷多个聚点,这样就不可能用有限多个锥将a（x）托起,这为我们对方程整体解的存在性,正则性以及解的长时间渐近性质的的研究都带来了一定的困难.本文,针对方程（Ⅰ）和（Ⅱ）引入了适当的带权Sobolev空间H01,a（Ω）和D01,p（Ω）,见定义3.1.1,4.1.1,得到了相应的Poincare不等式,迹定理,见定理3.1.2,4.1.2,3.2.2,4.2.1,以及相关的加权Sobolev空间及其性质,得到了相关的Sobolev嵌入定理,见命题3.1.3,4.1.3.然后我们分别研究了方程（Ⅰ）和（Ⅱ）的整体解的存在性,正则性以及方程解的长时间行为.对于方程（Ⅰ）,我们分两种情况来讨论.当a∈（0,2）,g∈H-1,a（Q）（H01,a（Ω）的对偶空间）时,我们采用Galerkin逼近的方法得到了方程（Ⅰ）弱解的存在.然后通过能量估计和一致紧方法得到了L2（Ω）空间中的全局吸引子的存在性.继而采用渐近先验估计方法（定义参见第二章）分别得到了方程（Ⅰ）所诱导半群在空间Lq（Ω）,L2q-2（Ω）（q≥2）中的ω-极限紧性,采用条件（C）方法（定义参见第二章）得到了方程的解所诱导半群在空间H01,a（Ω）中的ω-极限紧性.进而,分别得到了方程的解所诱导半群在Lq（Ω）,L2q-2（Q）（q≥2）和H01,a（Ω）中全局吸引子的存在性.当α∈[2,n+2)时,由于我们只能得到H01,a（Ω）紧嵌入到Lr（Ω）（r<2）,而不能紧嵌入到L2（Ω）,这为我们的研究带来了更大的困难.通过奇异摄动方法结合对非退化方程的适当的先验估计,我们得到了方程（Ⅰ）全局弱解的存在性和对应半群在L2（Ω）中对初始值的连续依赖性.利用非线性项的补偿耗散性得到了空间L2（Ω）中吸收集的存在性,然后,运用H01,a（Ω）紧嵌入到Lr（Ω）不仅得到了方程（Ⅰ）所对应半群的强弱连续性,并进一步得到了方程解所生成半群在空间Lr（Ω）,L2（Ω）,Lq（Ω）和H01,a（Ω）吸引子的存在性.对于方程（Ⅱ）,我们也分两种情况来讨论.当α∈（0,p）,g∈D-1,p（Ω）（D01,p（Ω）的对偶空间）时,我们通过奇异摄动方法用非退化的p-Laplician方程来逼近原方程得到了方程全局弱解的存在性和解所生成半群在L2（Ω）空间中的连续性；利用紧嵌入的方法得到了空间L2（Ω）中全局吸引子的存在性.进一步,当g∈L2（Ω）时,采用渐近先验估计方法得到了方程解所生成半群在空间Lq（Ω）中的ω-极限紧性,采用渐近紧方法得到了半群在D01,p（Ω）中的紧性,进而得到了Lq（Q）和D01,p（Ω）中全局吸引子的存在性.然而,当α∈[p,n（p-1）+p)时,由于我们只能得到D01,p（Ω）紧嵌入到Lr（Q）（r可能小于2）,这为我们的研究也带来了和方程（Ⅰ）在α∈[2,n+2)时一样的困难.我们仍然通过奇异摄动方法得到了方程（Ⅱ）的全局弱解的存在性,运用D01,p（Q）紧嵌入到Lr（Q）的得到了方程（Ⅱ）所对应半群的强弱连续性.进一步,当外力项g∈D-1,p（Ω）时,得到了方程解所生成半群在空间Lr（Q）中全局吸引子的存在性,继而,当外力项g∈H-1,a（Ω）时,得到了方程解所生成半群在空间L2（Ω）,Lq（Ω）和D01,p（Ω）中全局吸引子的存在性.
李静[10]（2010）在《一类完全非线性抛物方程及其在图像恢复中的应用》文中认为本文研究如下带非线性源的完全非线性抛物方程其中m > 0, 0≤u0∈C0（RN）,Φ（x,s）和Ψ（x,s）是关于x∈RN, s∈[0,∞)的非线性函数.它来源于自然界中许多扩散现象,如无力磁场的阻性扩散、生物种群的生存与竞争、微分几何领域的曲线收缩流、传染病的蔓延、带阻尼的弹性力学和Bellman-Dirichlet型问题等.本文的目的在于研究这类方程解的定性理论及其在图像处理中的应用.本文第一章是绪论部分.在本文的第二章,第一部分我们致力于研究Φ（x,u） > 0情形Dirichlet问题古典解的局部存在性.通常情况下对m = 0,方程在?u（x,t） = 0的点退化或奇异.据我们所知,目前还几乎没有文章涉及此类问题的古典解,尤其是多维情形.但是事实证明古典解确实是存在的.我们基于拓扑度理论,将问题转化为某种线性化问题的古典可解性,而相应的线性化问题可以通过Rothe方法辅以广义多孔介质方程正则化理论中的技巧求解.另外,解的比较原理对解的性质的研究起着重要的作用,我们基于古典解极值点的时间发展给出了比较原理简单但巧妙的证明.在本章第二部分,我们在第一部分的基础上用正则化方法分别研究了Φ（x,u） = uq的退化情形和奇异情形Cauchy问题连续解的局部存在性.我们从算子本身的特点出发,在泛函框架中给出了正则化问题解的一致Ho¨lder估计,再利用算子的单调性和空间Lp（0,T;B）的紧性,辅以空间区域分解技巧得到正则化问题解的Laplacian的强收敛,最终通过极限过程证明连续解的局部存在性.在第三章,我们在第一章建立的解的局部存在性和比较原理的基础上研究了Φ（x,u） = uq（q∈R）,Ψ（x,u） = up（p > 0）情形Cauchy问题解的长时间渐近行为,找到p的两个临界指标:整体存在指标p0和临界爆破指标pc.首先我们研究q≥0情形,由于方程的非散度结构和二阶项的完全非线性性,传统的能量估计方法不再奏效.我们引入非线性局部容度,通过容度估计来研究p > q + m情形解的爆破行为.进一步,通过引入上（下）解,我们研究了0 < p≤q + m情形解的爆破和整体存在行为以及p > pc情形解的整体存在行为.不同于之前关于临界指标p的研究,我们发现还存在q的临界指标: q0 = m.当q > m,解的整体存在区间变大,任意非平凡初值爆破的区域退化.接下来我们用同样的方法研究q < 0的情形.作为本文最后一章,我们将完全非线性抛物方程用于图像恢复,弥补了经典TV模型在“坡”问题中的不足.首先我们在半群理论的框架下研究了一类自适应的完全非线性去噪模型证明了该方程Dirichlet问题积分解的适定性.该模型用?u的符号调节图像水平曲线的扩散方向.数值实验验证了这类去噪模型能够有效保护图像的边界和“坡”信息,避免阶梯效应和新细节的产生.接下来我们将完全非线性模型用于“坡”问题的乘性去噪,该模型扩散速度和噪声强度成正比,没有噪声的区域扩散停止,能够针对乘性噪声的特点去噪,并且在去除噪声的同时有效地保持“坡”信息.
二、两退化点抛物方程解的存在性和唯一性（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、两退化点抛物方程解的存在性和唯一性（论文提纲范文）
（1）一类弱退化抛物方程在边界控制下的近似可控性（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 选题的背景及研究意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.3 论文研究内容 |
| 1.4 论文结构安排 |
| 第2章 线性退化抛物方程边界控制问题的近似可控性 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 弱解的适定性 |
| 2.2.1 正则化问题解的能量估计 |
| 2.2.2 退化抛物问题的适定性 |
| 2.3 近似可控性 |
| 2.3.1 唯一延拓性 |
| 2.3.2 近似可控性 |
| 第3章 半线性退化抛物方程边界控制问题的近似可控性 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 线性系统适定性 |
| 3.3 线性问题的一些估计 |
| 3.4 半线性问题的适定性 |
| 3.5 线性系统的近似可控性 |
| 3.6 半线性系统的近似可控性 |
| 第4章 结论 |
| 4.1 结论 |
| 4.2 论文的创新性 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 作者简介 |
| 攻读硕士学位期间研究成果 |
（2）几类生物动力学模型的稳定性与分支分析（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题研究背景及意义 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.3 本文主要工作 |
| 第2章 具一般接触率和时滞病毒动力学模型的全局动力学行为 |
| 2.1 前言 |
| 2.2 无免疫反应的情形 |
| 2.2.1 基本的病毒模型 |
| 1 时的稳定性分析'>2.2.3 R_0>1 时的稳定性分析 |
| 2.3 有免疫反应的情形 |
| 2.3.1 基本性质 |
| 2.3.2 全局稳定性 |
| 2.3.3 数值模拟 |
| 2.4 本章小结 |
| 第3章 具一般接触率和扩散病毒模型的全局动力学性质 |
| 3.1 前言 |
| 3.2 空间非齐次的情形 |
| 3.2.1 解的基本性质 |
| 3.2.2 渐近紧性 |
| 3.2.3 基本再生数和全局吸引性 |
| 3.3 空间齐次的情形 |
| 3.3.1 平衡点的存在性 |
| 3.3.2 全局吸引性 |
| 3.3.3 数值模拟 |
| 3.4 本章小结 |
| 第4章 具时滞和空间异质病毒模型的全局动力学性质 |
| 4.1 前言 |
| 4.2 空间非齐次的情形 |
| 4.2.1 解的基本性质 |
| 4.2.2 紧性 |
| 4.2.3 基本再生数和全局吸引性 |
| 4.3 空间齐次的情形 |
| 4.3.1 平衡点的存在性 |
| 4.3.2 全局吸引性 |
| 4.4 数值模拟 |
| 4.5 本章小结 |
| 第5章 具毒素影响的浮游生物模型的动力学性质分析 |
| 5.1 前言 |
| 5.2 ODE系统的研究 |
| 5.2.1 主要的结果 |
| 5.3 PDE系统的研究 |
| 5.3.1 非常值正稳态解的稳态模式 |
| 5.3.2 分支分析 |
| 5.4 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表的论文及其他成果 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（3）几类抛物系统的稳定性和能稳性（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第1章 引言 |
| 第2章 非柱状区域上热方程的稳定性和能稳性 |
| 2.1 准备工作 |
| 2.2 非柱状区域上热方程的特殊解 |
| 2.2.1 α=1时系统的特殊解 |
| 2.2.2 α=1/2时系统的解 |
| 2.3 非柱状区域上热方程的稳定性 |
| 2.4 非柱状区域上热方程的快速能稳性 |
| 第3章 具有时变系数的热方程的能稳性 |
| 3.1 准备工作 |
| 3.2 时变系统1的非指数稳定性 |
| 3.3 时变系统1的快速能稳性 |
| 3.4 时变系统2的快速能稳性 |
| 第4章 非柱状区域上退化热方程的稳定性 |
| 4.1 准备工作 |
| 4.2 柱状区域上退化系统的稳定性和能稳性 |
| 4.3 非柱状区域上退化系统的稳定性 |
| 第5章 具有记忆的热方程的稳定性和能稳性 |
| 5.1 准备工作 |
| 5.2 具有常数记忆核的系统的稳定性 |
| 5.3 具有非常数记忆核的系统的稳定性 |
| 5.4 具有常数记忆核的系统的指数能稳性 |
| 结语 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在学期间公开发表(投稿)论文情况 |
| 在学期间获奖励情况 |
（4）退化双曲方程的能控性和Ginzburg-Landau方程的不灵敏控制（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第1章 引言 |
| 第2章 Ginzburg-Landau方程的不灵敏控制 |
| 2.1 介绍和主要结果 |
| 2.2 不灵敏控制问题的转化 |
| 2.3 线性耦合Ginzburg-Landau方程的全局Carleman估计 |
| 2.4 线性耦合Ginzburg-Landau方程的能控性 |
| 2.5 主要结果的证明 |
| 第3章 一维退化双曲方程的边界能控性 |
| 3.1 介绍和主要结果 |
| 3.2 退化双曲方程的适定性 |
| 3.3 退化双曲方程的能控性 |
| 第4章 一维半线性退化双曲方程的内部能控性 |
| 4.1 介绍和主要结果 |
| 4.2 线性化系统的能控性 |
| 4.3 退化双曲方程的能观性 |
| 4.4 主要结果的证明 |
| 4.5 附录 |
| 第5章 一维线性退化双曲方程的延迟区域零能控性 |
| 5.1 介绍和主要结果 |
| 5.2 区域零能控问题及其转化 |
| 5.3 退化双曲方程的能观性 |
| 5.4 延迟区域零能控的证明 |
| 结语 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在学期间公开发表论文情况 |
| 在学期间（硕博连读）获奖励情况 |
（5）三类反应扩散方程的正解（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 Lotka-Volterra捕食-食饵模型的背景和研究现状 |
| 1.2 Lengyel-Epstein反应扩散模型的背景和研究现状 |
| 1.3 Degn-Harrison反应扩散模型的背景和研究现状 |
| 1.4 本文主要工作 |
| 第2章 带有C-M反应项的捕食-食饵模型的定性分析 |
| 2.1 前言 |
| 2.2 先验估计 |
| 2.3 平衡态正解的存在性 |
| 2.4 平衡态正解唯一性及稳定性 |
| 2.5 长时行为 |
| 2.6 数值模拟 |
| 第3章 带有C-M反应函数的捕食-食饵模型正解的重数及唯一性 |
| 3.1 前言 |
| 3.2 知结果 |
| 3.3 充分大时正解的多重性,唯一性及稳定性 |
| 第4章 Lengyel-Epstein反应扩散模型的时空模式 |
| 4.1 前言 |
| 4.2 非常数稳态解的不存在性 |
| 4.3 非常数正解的性质 |
| 4.4 分歧解的方向 |
| 第5章 带有Degn-Harrison反应项的反应扩散模型的Hopf分歧 |
| 5.1 前言 |
| 5.2 Hopf分歧 |
| 总结 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间的研究成果 |
（6）一类非线性抛物方程反问题适定性之研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 问题的提出 |
| 1.2 预备引理 |
| 1.3 本文的主要内容和方法 |
| 第2章 奇异抛物方程解的存在性 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 预备引理 |
| 2.3 局部解的存在性与整体解存在的充要条件 |
| 第3章 退化抛物方程反问题的适定性 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 c为常数的反问题 |
| 3.3 c为函数c(t)的反问题 |
| 第4章 一维抛物方程反问题的数值解 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 差分格式的建立 |
| 4.3 解的存在性、稳定性和收敛性 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 在学期间发表的学术论文 |
（7）几种非线性发展型方程解的爆破性（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 符号说明 |
| 绪论 |
| 第一章 非牛顿多方渗流方程Cauchy问题 |
| 1 引言 |
| 2 解的先验估计 |
| 3 定理的证明 |
| 第二章 带有非局部边界条件和移动局部源的多孔介质方程 |
| 1 引言 |
| 2 比较原理 |
| 3 全局存在和爆破性 |
| 第三章 带有时间延迟及动态边界条件的抛物方程 |
| 1 引言 |
| 2 主要结果与证明 |
| 参考文献 |
| 作者简介及科研成果 |
| 致谢 |
（8）一类抛物方程（组）适定性的若干性质之研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 导论 |
| 1.1 问题的提出 |
| 1.2 预备知识 |
| 1.3 本文的主要内容和方法 |
| 第2章 带对流项的奇异扩散方程的 NEUMANN 问题 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 预备引理 |
| 2.3 整体解的存在唯一性 |
| 2.4 解的线性逼近 |
| 2.5 解的非线性逼近性质 |
| 2.6 解的渐近性质 |
| 2.7 附录 |
| 第3章 一类抛物方程组反问题的适定性 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 预备引理及性质 |
| 3.3 反问题解的存在唯一性 |
| 3.4 反问题条件的稳定性分析 |
| 第4章 几点想法 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 在学期间发表的学术论文 |
（9）关于退化发展型方程长时间行为的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 综述 |
| 1.1 本文的工作和内容安排 |
| 1.2 展望 |
| 2 准备知识 |
| 2.1 常用不等式 |
| 2.2 全局吸引子的存在性 |
| 3 退化的反应扩散方程 |
| 3.1 带权Sobolev空间及其性质 |
| 3.2 Case 1:α∈(0,2) |
| 3.2.1 全局弱解的存在唯一性 |
| 3.2.2 全局吸引子的存在性 |
| 3.3 case 2:α∈[2,n+2) |
| 3.3.1 全局解的存在唯一性 |
| 3.3.2 全局吸引子的存在性 |
| 2'>4 退化的发展型p-Laplacian,p>2 |
| 4.1 带权Sobolev空间及其性质 |
| 4.2 Case 1:α∈(0,p) |
| 4.2.1 全局弱解的存在唯一性 |
| 4.2.2 全局吸引子的存在性 |
| 4.2.3 正则性结果 |
| 4.3 Case 2:α ∈[p,n(p-1)+p) |
| 4.3.1 全局解的存在唯一性 |
| 4.3.2 全局吸引子的存在性 |
| 4.3.3 正则性结果 |
| 参考文献 |
| 在学期间的研究成果 |
| 致谢 |
（10）一类完全非线性抛物方程及其在图像恢复中的应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景和历史 |
| 1.2 偏微分方程图像处理的研究现状与分析 |
| 1.3 本文的主要内容及结构 |
| 第2章 解的适定性 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 Dirichlet问题古典解的存在性和比较原理 |
| 2.2.1 线性化问题强解的存在性 |
| 2.2.2 线性化问题强解的正则化 |
| 2.2.3 古典解的存在性和比较原理 |
| 2.3 退化情形解的局部存在性 |
| 2.3.1 超线性源情形 |
| 2.3.2 次线性源情形 |
| 2.4 奇异情形解的局部存在性 |
| 2.4.1 超线性源情形 |
| 2.4.2 次线性源情形 |
| 2.5 本章小结 |
| 第3章 解的爆破和整体存在指标 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 退化情形 |
| 3.2.1 局部容度估计 |
| 3.2.2 临界指标 |
| 3.3 奇异情形 |
| 3.3.1 局部容度估计 |
| 3.3.2 临界指标 |
| 3.4 本章小结 |
| 第4章 在图像恢复中的应用━避免阶梯效应 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 去除加性噪声的自适应模型 |
| 4.2.1 积分解的适定性 |
| 4.2.2 模型分析及数值实验 |
| 4.3 用于“坡”问题乘性去噪的完全非线性模型 |
| 4.3.1 模型分析 |
| 4.3.2 数值实验 |
| 4.4 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表的学术论文 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
四、两退化点抛物方程解的存在性和唯一性（论文参考文献）
- [1]一类弱退化抛物方程在边界控制下的近似可控性[D]. 解春雷. 长春工业大学, 2021(08)
- [2]几类生物动力学模型的稳定性与分支分析[D]. 杨洪. 哈尔滨工业大学, 2018(01)
- [3]几类抛物系统的稳定性和能稳性[D]. 李玲飞. 东北师范大学, 2018(02)
- [4]退化双曲方程的能控性和Ginzburg-Landau方程的不灵敏控制[D]. 张牧明. 东北师范大学, 2016(06)
- [5]三类反应扩散方程的正解[D]. 董亚莹. 西北大学, 2016(04)
- [6]一类非线性抛物方程反问题适定性之研究[D]. 林丽容. 集美大学, 2013(04)
- [7]几种非线性发展型方程解的爆破性[D]. 孙鹏. 吉林大学, 2011(09)
- [8]一类抛物方程（组）适定性的若干性质之研究[D]. 林雪清. 集美大学, 2011(01)
- [9]关于退化发展型方程长时间行为的研究[D]. 李洪涛. 兰州大学, 2010(12)
- [10]一类完全非线性抛物方程及其在图像恢复中的应用[D]. 李静. 哈尔滨工业大学, 2010(04)
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