具有临界指数的半线性椭圆方程正解的存在性

一、具有临界指数的半线性椭圆型方程正解的存在性（论文文献综述）

陈浩然^[1]（2021）在《非线性椭圆型方程（组）边值问题的可解性》文中指出本文主要利用不动点定理和上、下解方法研究了非线性椭圆型方程和方程组的可解性。绪言部分主要是对偏微分方程的发展历史和背景,以及本篇论文中所用到的方法等进行了介绍。第一章研究了带小参数λ的双调和方程边值问题（?）（1.1）的可解性。这里Ω（?）Rn是一个有界光滑洞型区域,其中内边界为Γ2,外边界为Γ1。且（?）YΓ2,b>0为常数,λ为正参数。本文利用变量代换在问题（1.1）中,令-Δu=v,将问题（1.1）转换成椭圆型方程组边值问题（?）（1.2）然后利用上、下解方法以及不动点定理证明了上述问题解的存在性,并讨论了解的唯一性。第二章考察半线性椭圆型方程组（?）（2.1）这里 c（x）,d（x）是 Ω 上连续正函数,c（x）>0,d（x）>0,α,β∈（1,+∞）是常数。本文利用不动点定理对问题（2.1）解的存在性进行了研究,最后利用Green恒等式以及调和函数极值原理证明其唯一性。第三章考察有界洞型区域上的半线性椭圆型方程边界值问题#12这里常数k>1,Ω（?）Rn是一个有界洞型光滑区域,其中内边界为Γ2,外边界为Γ1,且λ1、λ2为正参数,b>0为常数,（?）。本文利用上、下解方法证明了该问题解的存在性,最后再考虑一种特殊情况,也就是当λ2为常数时,证明了解的存在性。

杨亚飞^[2]（2021）在《一类HollingⅡ型Rosenzweig-MacArthur捕食者-食饵扩散模型的动力学性态》文中研究说明本文研究一类Holling Ⅱ型Rosenzweig-MacArthur捕食者-食饵扩散模型的动力学性态.首先,对于常微分方程模型,分析平衡点的稳定性,且以狩猎捕食者的死亡率与食饵的净增长率之比为分支参数,给出Hopf分支存在的条件.其次,对于弱耦合反应扩散模型,分析正平衡点的稳定性,结果表明不会产生Turing不稳定性,并在正常数平衡点不稳定的情形利用不动点指标理论建立非常数正解的存在性.然后,对强耦合交错扩散模型,证明交错扩散会导致Turing不稳定性,从而空间斑图会出现.同时还证明该模型在适当条件下会产生Hopf分支,进而得到在Turing不稳定曲线和Hopf分支曲线的交点处会出现时空斑图,而非常数正解的存在性是由Leray-Schauder度理论建立的.最后,利用数值模拟来解释理论结果.

牛亚慧^[3]（2021）在《几类椭圆型和抛物型方程的解的对称性和单调性研究》文中提出本文系统地发展了一种移动平面的渐近方法.作为应用,我们研究了一类分数阶抛物型方程在单位球和全空间上的正解的渐近对称性和单调性,一类Hamilton-Jacobi方程的正解的渐近单调性;推广了一类分数阶椭圆型方程的反对称函数的Hopf引理,并将之应用于研究一类分数阶Kirchhoff型方程的正解的对称性和单调性.本文共分四章:在第一章中,我们概述本文所研究问题的背景及国内外研究现状,并简要介绍本文的主要工作及相关的预备知识和一些记号.在第二章中,我们系统地发展了一种移动平面的渐近方法,并将之应用于研究分数阶抛物型方程正解的定性性质.我们首先得到了一系列的关键要素,例如渐近狭窄区域原理、各种渐近极大值原理和反对称函数的渐近强极大值原理.然后我们说明了这个新的方法可以怎样被应用于研究分数阶抛物型方程在单位球或全空间上的正解的渐近对称性和单调性.精确地说,考虑如下的方程（?）tu+（-Δ）su=f（t,u）,（x,t）∈Ω×（0,∞）,（E1）其中s∈（0,1）是常数.我们证明了在初值任意的情况下,问题（E1）在Ω=B1（0）或RN中的有界正解都将最终趋向于径向对称的函数.本章的主要结果已发表于（Adv.Math.,377（2021）,107463）.在第三章中,我们利用第二章所发展方法中的构造下解这一重要工具,证明了涉及分数阶椭圆型算子的反对称函数的Hopf引理.此结果推广了 C.Li和W.Chen在（Proc.Amer.Math.Soc.,2019）中的结果,使之可以适用于更广泛的一类非线性项的函数,并极大地简化了证明过程.作为应用,我们将此反对称函数的Hopf引理应用于移动平面法,考虑了如下的分数阶Kirchhoff型方程（a+b∫Rn|（-Δ）s/2u|2dx）（-Δ）su=f（x,u）,u>0,x∈Ω,（E2）这里a≥0,b>0,s ∈（0,1）是常数.当f满足适当的条件时,我们分别证明了方程（E2）在Ω为有界区域或全空间Rn时的解的对称性和单调性.（本章的主要结果已发表在 Comm.Pure Appl.Anal.,20（2021）,1431-1445）.在第四章中,应用第二章所发展的渐近移动平面法,我们研究分数阶Hamilton-Jacobi问题（?）tu+（-Δ）su=H（t,x,u,▽u）,t>0,x∈Rn,（E3）其中s ∈（1/2,1）是常数.当H满足一定的条件时,我们证明了问题（E3）的有界正解在x1-方向存在某种渐近单调性.

李巧琴^[4]（2020）在《具有临界增长的分数阶Laplace问题多重正解的存在性》文中研究表明考虑如下具有临界增长的分数阶Laplace问题:（?）其中（-△）s是分数阶Laplace算子,s ∈（0,1）,Ω（?）RN（N>2s）是带有光滑边界（?）Ω的有界区域,λ>0,1<g<2s*:2N/N-2s,g∈（Ω）.本文使用变分法证明了当q满足某些条件时,问题（*）正解的存在性和多重性.并考虑了凹幂和凸幂两种情形,指出了临界非线性系数函数的局部极大值点数与问题（*）的正解数之间的关系.

刘伟^[5]（2020）在《非凸问题鞍点计算的新算法及其应用研究》文中提出本文研究非凸问题鞍点计算的新算法及其应用,主要内容分为四个部分.第一部分,我们研究计算无约束鞍点的基于新的优化策略的局部极小极大方法（LMM）.首先,我们给出一类推广的局部极小极大原理,并从连续动力学的角度理解LMM能以稳定方式计算不稳定鞍点的数学本质.然后,我们在使用一般下降方向的LMM算法框架下,系统地讨论各种步长搜索准则的可行性,并建立完整的全局收敛性结果.这使得各种高效的优化策略可以应用到LMM算法中.特别地,我们提出全局收敛的Barzilai-Borwein（BB）型LMM、共轭梯度型LMM和L-BFGS型LMM三类新的LMM算法,用于改进传统LMM算法的计算效率.最后,我们将新的LMM算法应用于几类半线性椭圆边值问题、带非线性边界条件的椭圆问题和Kirchhoff型拟线性非局部问题的多解计算,并比较不同LMM算法的数值性能.广泛的数值结果表明,这三类新的LMM算法能显着地提高传统LMM算法的计算效率.第二部分,我们研究计算无约束鞍点的基于新的优化策略的虚拟几何对象型LMM（VGOLMM）.首先,基于对一类广义的VGOLMM动力系统的分析,我们提出使用一般下降方向的广义VGOLMM算法框架,并在这一框架下讨论不同步长搜索准则及相应的全局收敛性.许多高效的优化策略可以用于实现该VGOLMM算法框架.由于BB策略的简单性和高效性,我们提出使用BB型步长的VGOLMM算法.最后,我们将新的VGOLMM算法应用于散焦型非线性Schr?dinger方程和一类Allen-Cahn型奇异摄动Neumann问题的多解计算,得到了丰富的数值结果.数值结果表明,使用BB型步长的VGOLMM算法比原始VGOLMM算法的收敛更快.第三部分,我们研究计算玻色-爱因斯坦凝聚体（BEC）基态解的精确、高效的新算法.BEC的基态解通常定义为相应的Gross-Pitaevskii（GP）能量泛函在某些约束条件下的最小值点,离散归一化梯度流法（GFDN,或虚时间演化法）是计算BEC基态解的最主要的方法之一.我们以单组分BEC和spin-1 BEC模型为例,通过分析和数值实验说明,采用基于GFDN的几种典型时间离散格式计算BEC基态往往会得到误差依赖于时间步长的不准确的结果,这是本文的一个重要发现.为了改进GFDN,我们提出计算BEC基态解的带Lagrange乘子的梯度流法（GFLM）,并证明基于GFLM的各种典型的时间离散格式均能与基态解的Euler-Lagrange方程精确匹配.进一步,我们将GFLM推广到具有挑战性的一般spin-F BEC模型,并研究确定投影常数的方法.由于精确投影方法往往在计算上比较复杂或缺乏投影常数的存在唯一性保证,我们提出两类非精确投影策略,使得投影常数可以直接显式计算,并估计它们的约束违反度.最后,我们给出spin-1,spin-2和spin-3情形的广泛的数值结果以及观测到的一些非常有趣的基态现象.第四部分,我们研究计算约束鞍点的新算法并应用于BEC激发态计算.首先,我们提出计算一般约束鞍点的约束最柔上升动力学（CGAD）方法,证明其稳定平衡点是具有对应指标的约束鞍点,并对一类理想化的CGAD建立约束鞍点附近的局部指数收敛性.然后,我们将CGAD应用到BEC模型的激发态计算.由于BEC的激发态对应于GP能量泛函在某些约束条件下的能量高于基态的临界点,因此GP能量泛函的约束鞍点一定是激发态解.我们应用CGAD计算单组分BEC模型对应的GP能量泛函在单位球面约束下的鞍点,并设计基于（半隐）向后向前Euler时间离散格式和Gram-Schmidt正交规范化过程的高效数值格式.最后,我们基于一维和二维数值实验,发现了一些新的激发态解和有趣的物理现象.

姚张锋^[6]（2020）在《基于纤维化方法的若干偏微分方程解的存在性》文中研究指明本文介绍了一种能有效解决一些偏微分方程问题的方法-纤维化方法（Fiber-ing method）,基于该方法,我们能够考虑如下的三类偏微分方程的解的存在性.本文共有四章.第一章详细介绍了纤维化方法,对其理论进行了证明;并通过一个简单例子对该方法的使用进行了说明.从中,我们可以看到纤维化方法对于偏微分方程非线性项是多项式形式的情况非常适用.第二章考虑了一类有临界Sobolev指数的基尔霍夫型方程:（?）其中,Ω（?）R4是一具有光滑边界（?）Ω的有界区域,a,b,λ,δ是正参数.结合Nehari流形等,我们证明了:如果λ ∈（0,aλ1）,δ ∈（6S2,+∞）,那么问题（0.1）至少存在一对非平凡解;如果λ ∈（0,aλ1）,δ ∈（0,bS2）,那么问题（0.1）没有非平凡解.第三章考虑了一类半线性椭圆边界值问题解的存在性:（?）这里,Ω是RN中一具有光滑边界的有界区域,λ>0,a,b:Ω→ R是光滑函数,且a（x）>0,b（x）≠0.结合Sobolev嵌入定理,我们得到如下结论:假设1<q<p<N-2/N-2量.如果λ ∈（0,λ1）,那么问题（0.2）至少存在一个解;如果λ=λ1并且∫b（x）|（?）1|p+1dx<0,结论仍然成立.这里,（?）1表示-△对应于齐次Dirichlet边值的第一特征值λ1的第一特征函数.第四章考虑了一类带临界指数的半线性双调和方程非平凡解的存在性:（?）在这里,Ω（?）RN是一有界光滑区域,N ≥ 5;v是边界（?）Ω的单位外法向量,λ>0,p=2N/N-4是嵌入H02（Ω）→Lp（Ω）的临界Sobolev指数.结合Brezis-Lieb引理等,我们证明了:Ω（?）RN是一有界光滑区域,p=2N/N-4,N ≥ 8.如果λ∈（0,λ1）那么问题（0.3）至少有一个非平凡解.

杨杰^[7]（2020）在《带负指数项的临界非线性椭圆边值问题的定性研究》文中进行了进一步梳理本文旨在研究带负指数项的临界非线性椭圆边值问题,本文分别讨论了含Sobolev临界指数项与负指数项的拟线性椭圆方程正解的存在性与多重性,以及半线性椭圆耦合系统正解的存在性。首先研究了一类含Sobolev临界指数项以及负指数项的拟线性椭圆方程。由于Sobolev临界指数的存在,Sobolev嵌入（?）是非紧的,负指数的存在导致问题对应的能量泛函不是Frechet可微的,使得这类问题无法运用临界点理论处理。为了解决这些困难,首先建立了包含方程全部弱解的Nehari集,证明了问题对应的泛函在Nehari集中有下界。其次,使用Brezis-Lieb引理、Vitali定理证明存在一个解,其对应的泛函值为局部极小值,并且用强极大值原理证明其为正解。最后,使用Lions集中紧性原理、Ekeland变分原理等证明方程存在另一个弱解,同样使用强极大值原理证明该弱解为正解。本章证明了方程正解的存在性与多重性,推广和改进了一些最近的结果。其次研究了一类含Sobolev临界指数项以及负指数项的半线性椭圆耦合系统。解决问题的主要困难在于Sobolev嵌入（?）缺乏紧性,以及负指数项的存在导致问题对应的泛函不是Frechet可微的,因此无法找泛函对应的（）cPS序列。通过使用Nehari集、Ekeland变分原理以及Vitali定理,克服了以上困难,证明了问题正弱解的存在性,并证明了该解为基态解,推广了一些最近的成果。最后对本文的主要内容进行总结,提出现阶段仍存在的问题及将来的研究方向。

郭伟香^[8]（2019）在《一类半线性椭圆型方程组多正解的存在性》文中研究说明本文研究以下半线性椭圆型方程组:（?）其中α>1,β>1,α+β<2*:=2N/N-2（N≥ 3）.我们用变分法证明了如果h1（x）,h2（x）满足:（?）其中程组（1）至少存在两个正解.在证明方程组（1）的第一个正解时,我们首先引入方程组:（?）我们在Nehari流形上利用Ekeland变分原理证明了当h1（x）,h2（x）满足（H1）,（H2）,方程组（2）至少有一个正解,其中Cα,β=（α+β-2）（α+β-1）-α+β-1/α+β-2（1-λ）α+β-1/α+β-2[0,1).易知在方程组（2）中取λ=0即为方程组（1）.同时,我们考虑如下方程组:（?）我们利用上下解方法证明了当h1（x），h2（x）满足（H1）,（H2）,且F ∈ C1（R2）满足:（H3）0≤Fu（u,v）≤α|u|α-2u|v|β+入u,0≤Fv（u,v）≤β-α+βu|α|v|-2v+α+λv,方程组（3）至少有一个正解.本文共分为四章:第一章,主要说明了上述半线性椭圆型方程组的研究进展,以及本文的主要结果.第二章,主要介绍本文中将用到的一些基本概念,基本原理,以及几个重要不等式.第三章,我们分别证明方程组（2）和方程组（3）正解的存在性.第四章,主要证明方程组（1）至少存在两个正解:在方程组（2）中取入=0,即可得到方程组（1）的第一个正解,随后证明了第二个正解的存在性.

杨燕君^[9]（2019）在《两类含扰动项椭圆型方程组解的存在性》文中研究表明本文主要研究了两类含有扰动项的椭圆型方程组解的存在性首先,本文讨论以下半线性椭圆型方程组其中α,β>1且满足α+β<2*:=（?）（N≥3）,h1,h2∈H-1（RN）,h1,h2≥0且h1≠0,h2≠0.我们通过集中紧性原则解决方程组（1）在RN上的紧性缺失问题且使用山路定理证明了方程组（1）解的存在性.其次,讨论了下面分数阶椭圆型方程组其中s ∈（0,1）是给定的且（-△）s是分数阶拉普拉斯算子,Ω（?）RN（N>2s）是光滑有界区域.h1,h2 ∈ L2（Ω）,q（x）∈ L∞（Ω）,q（x）≥ 0 a.e.in Ω,且 H ∈ C1（R2,R）是 p 次齐次函数且2<p<2s*=（?）.我们通过Nehari流形并结合变分法证明了方程组（2）解的存在性.本文总共分为三章.在第一章中,首先介绍了目前椭圆型方程组的一些研究现状,其次介绍了本文的主要结果.在第二章中,讨论了在无界区域上含有扰动项的半线性椭圆型方程组（1）解的存在性.在第三章中,研究了在有界区域上含有扰动项的分数阶椭圆型万程组（2）解的存在性.

张翔^[10]（2019）在《一类拟线性椭圆型方程解的存在性》文中研究表明本文主要通过引进变量代换和临界点理论研究一类拟线性椭圆型方程非平凡解的存在性及其相关性质.该类方程来源于等离子物理学中的超流体膜方程,具有丰厚的物理背景,近几十年来受到国内外数学研究者的广泛关注.由于拟线性项的存在,使得方程对应的泛函在通常的Sobolev空间不好恰当定义,经典的变分理论不能直接应用.本文希望引入新的变量替换来研究一类一般拟线性椭圆型方程在超线性条件下解的存在性及其渐近行为,并进一步考虑凹凸非线性情形非平凡解的存在性.具体的研究工作如下:在第3章中,通过建立改进的变量替换,将一般拟线性椭圆型方程转化为半线性椭圆型方程,转化后所得方程对应的泛函在通常的Sobolev空间有意义,但是非线性项相应变得复杂.首先对非线性项利用变换的性质进行整理,而后利用变分法中的临界点理论,研究转化所得半线性椭圆型方程正解的存在性.最后通过对解进行估计和变量替换函数的性质,从而证明新得到的半线性椭圆型方程的正解就是原拟线性椭圆型方程的正解.该结果拓宽了现有相关文献中关于非线性项指数的范围.进一步,针对常数位势的情形,利用变量代换和约束变分理论,得到了一类一般拟线性椭圆型方程基态解的存在性,并研究了基态解的渐近行为.第4章主要研究包含凹凸非线性项的一般拟线性椭圆型方程正解的存在性.通过变量替换,将一般拟线性椭圆型方程转化成半线性椭圆型方程,由于原方程的非线性项包含凹凸非线性项,因此变换后所得的非线性项更复杂.利用山路引理、Lions紧性引理等,得到了含凹凸非线性项情形下一般拟线性椭圆型方程正解的存在性.第5章主要对本文内容进行了总结和展望.本文主要创新点是被改进的变量替换,从而使得所研究方程非线性项中的指数范围变得更广泛.但是,对于非常位势情况下正解的渐近性质尚未取得实质性进展,对含凹凸非线性项的拟线性椭圆型方程中的结果也可以进一步改进.

二、具有临界指数的半线性椭圆型方程正解的存在性（论文开题报告）

（1）论文研究背景及目的

此处内容要求：

首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。

写法范例：

本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。

（2）本文研究方法

调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。

观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。

实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。

文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。

实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。

定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。

定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。

跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。

功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。

模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。

三、具有临界指数的半线性椭圆型方程正解的存在性（论文提纲范文）

（1）非线性椭圆型方程（组）边值问题的可解性（论文提纲范文）

（2）一类HollingⅡ型Rosenzweig-MacArthur捕食者-食饵扩散模型的动力学性态（论文提纲范文）

（3）几类椭圆型和抛物型方程的解的对称性和单调性研究（论文提纲范文）

（4）具有临界增长的分数阶Laplace问题多重正解的存在性（论文提纲范文）

（5）非凸问题鞍点计算的新算法及其应用研究（论文提纲范文）

（6）基于纤维化方法的若干偏微分方程解的存在性（论文提纲范文）

（7）带负指数项的临界非线性椭圆边值问题的定性研究（论文提纲范文）

（8）一类半线性椭圆型方程组多正解的存在性（论文提纲范文）

（9）两类含扰动项椭圆型方程组解的存在性（论文提纲范文）

（10）一类拟线性椭圆型方程解的存在性（论文提纲范文）

四、具有临界指数的半线性椭圆型方程正解的存在性（论文参考文献）

• [1]非线性椭圆型方程（组）边值问题的可解性[D]. 陈浩然. 安庆师范大学, 2021(12)
• [2]一类HollingⅡ型Rosenzweig-MacArthur捕食者-食饵扩散模型的动力学性态[D]. 杨亚飞. 西北师范大学, 2021(12)
• [3]几类椭圆型和抛物型方程的解的对称性和单调性研究[D]. 牛亚慧. 华中师范大学, 2021(02)
• [4]具有临界增长的分数阶Laplace问题多重正解的存在性[D]. 李巧琴. 山西大学, 2020(01)
• [5]非凸问题鞍点计算的新算法及其应用研究[D]. 刘伟. 湖南师范大学, 2020(01)
• [6]基于纤维化方法的若干偏微分方程解的存在性[D]. 姚张锋. 华东师范大学, 2020(10)
• [7]带负指数项的临界非线性椭圆边值问题的定性研究[D]. 杨杰. 重庆邮电大学, 2020(02)
• [8]一类半线性椭圆型方程组多正解的存在性[D]. 郭伟香. 山西大学, 2019(01)
• [9]两类含扰动项椭圆型方程组解的存在性[D]. 杨燕君. 山西大学, 2019(01)
• [10]一类拟线性椭圆型方程解的存在性[D]. 张翔. 武汉理工大学, 2019(07)

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