伯恩斯坦多项式扩展及其生成的准贝塞尔曲线

一、Bernstein多项式推广及其所生成的拟Bézier曲线（论文文献综述）

葸海英^[1]（2015）在《含形参Bézier曲线曲面造型的扩展研究》文中提出Bezier曲线曲面具有很多优良的几何性质,在计算机辅助几何设计中得到了广泛的应用,也成为了曲线曲面造型设计的重要研究工具之一。Bezier曲线主要运用逼近的思想来描述和绘制曲线[1],呈现刚性,即当控制多边形确定之后曲线就会被确定,这给曲线的调节和修改带来了较大的困难。为了克服这种刚性给工程设计带来的不灵活性,本文在Bernstein多项式中引入了参数,通过调节参数值实现对曲线曲面的局部和整体的调整。此外,本文还实现了曲线、曲面间的光滑拼接,完善的描述了复杂组合的曲线曲面。首先,用函数代替了Bernstein多项式中的变量,并将Bernstein多项式做了进一步的推广,使其生成了新的拟Bézier曲线[2].这种新的拟Bézier曲线不仅继承了传统Bézier曲线的优良特性,而且还形成了一些新的性质,如通过调节因子的值可以对拟Bézier曲线的次数进行改变,调节参数的值虽然对曲线的形状不产生影响,但若对参数取相同的值,传统Bézier曲线上的点的位置与新的拟Bézier曲线上的点的位置不同[3],这使得拟Bézier曲线在拼接的过程中具有更强的自由度和灵活性。接着研究了含两个参数,的拟Bézier曲面,分析了不同参数对该类曲面的影响。其次,利用传统Bézier曲线和含有两个形状参数的三角Bézier曲线[4],应用加权的思想[5],对Bézier曲线和Bézier曲线同时进行了扩展,产生了新的Bézier曲线,并给出了新曲线的基函数,对曲线的性质,拼接及其应用进行了研究。在保持控制多边形不变的前提下,对形状参数取不同的值,除了可以生成不同的逼近该控制多边形的曲线,还可以生成能够精确表示或逼近抛物线弧等的二次曲线。给出了抛物线以及花瓣图案的实例和新曲线及其拼接后得到曲线的旋转体图。分析及研究了Bézier曲面的结构和性质以及参数对曲面的调节。最后,基于一种带参数的三次Bernstein基函数,构造了带形状参数的三次广义Bézier曲面,该曲面不仅保留了Bézier曲面原有的几何性质,而且该曲面还产生了一些新的特性,研究并给出了新曲面的性质以及特殊曲面退化的构造,同时为了解决造型设计中单一曲面难以表达复杂曲面的问题,本文推导出了相邻两张三次广义Bézier曲面间光滑拼接的几何条件,并给出了拼接的步骤和几何造型的实例。

葸海英,张贵仓^[2]（2014）在《带两个参数的拟Bézier曲线》文中研究表明文章主要将Bernstein基函数中的变量u用函数f（u）代替,将Bernstein基函数进行了推广,生成了新的Bézier曲线,称为拟Bézier曲线。讨论了基函数及其生成的曲线的构造和性质。这种拟Bézier曲线不仅有Bézier曲线的优良性质,而且还产生了一些新的特性,如通过调节因子λ的值可以改变拟Bézier曲线的次数[1],同时拟Bézier曲线也可以通过类似的De Casteljau算法来实现拟De Casteljau算法的几何作图法。但不同的是,对相同参数u,Bézier曲线与拟Bézier曲线所对应的点Vi的位置不同。最后讨论了曲线间的拼接问题,其在应用中有一定的研究价值。

于巍^[3]（2006）在《Kantorovich算子推广与函数逼近问题》文中指出在逼近问题中，对于不同的目标函数，采用的逼近算子也有所不同。Kantorovich算子是Bernstein算子的一种推广。本文主要以Bernstein算子及其推广算子的函数逼近性质为基础，研究Kantorovich算子的推广和随机的Kantorovich算子以及这些算子的函数逼近问题。 对于Kantorovich算子，我们通过加权方法进行改进，这种加权的Kantorovich算子反映出函数在每个区间[k+1／n+1，k+1／n+1]内各处的不同作用与影响，使得只改变相应的权函数就可以得到不同的逼近效果。同时，通过对Kantorovich算子的某种修正，可以达到减少求和项从而降低计算量的效果。而且，此时算子的导算子还保持了对导函数的逼近性质。最后，我们还对随机Kantorovich算子的构造以及一些基本的逼近性质进行了研究，从而丰富了逼近理论。

潘志庚,胡小强^[4]（2004）在《中国图形工程:2003》文中提出本文是关于中国图形工程的年度文献综述系列之九。对 2 0 0 3年发表的有关计算机图形的主要论文 ,根据内容进行了分类 ,这些学术研究和技术应用论文 （共计 6 0 8篇 ）是从发表比较集中的 12种中文期刊 （共计 6 2 6 7篇 ）上选取出来的。研究分析表明 ,国内这几年从事图形学及相关技术的研究开发人员不断增加 ,研究水平有很大提高 ,国内的学术交流也非常广泛 ,而图形学本身也在发展 ,与其他学科结合 ,派生出一些新的研究方向。

李重^[5]（2003）在《常用自由曲线中的一些问题研究》文中研究指明本论文就自由曲线设计中以下几个问题进行了一些研究： 1．二次有理B样条曲线的曲率单调条件研究。 2．B样条曲线的快速生成算法研究。 3．有理B样条曲线的快速生成算法研究。 4．Bernstein多项式推广及其所生成的曲线性质研究。 曲线的曲率单调性是指其曲率单调增大或单调减少的性质，与曲线的光顺性密切相关，它是计算机辅助设计与图形学中的重要内容，开展曲率单调性方面的研究，有利于我们进一步认识曲线的性质，并为‘分段曲率单调’光顺方法奠定理论基础。从90年代起，Sapidis等人对二次Bézier曲线的曲率单调性问题进行了研究，得到了曲率单调的充要条件，其条件比较苛刻；1998年Minerur等人提出了一种高次曲线曲率单调的充分条件；2000年王玉林等人对二次有理Bézier曲线曲率单调进行了研究，得到了充要条件。事实上，二次有理Bézier曲线是二次有理B样条曲线的特例，二次有理B样条曲线曲率单调的充要条件是否与二次有理Bézier曲线相类似?因此对二次有理B样条曲线曲率单调性的研究有更重要的意义。 本论文通过建立斜坐标系，简化了计算过程，推导出了二次有理B样条曲线曲率单调充要条件，并与二次有理Bézier曲线的曲率单调条件相比较，结果表明：二次有理B样条曲线曲率单调的充要条件与二次有理Bézier样条曲线相类似，但其条件又有不同。 曲线的生成算法是计算机图形学的重要内容。对于一些基本曲线，如直线，圆，椭圆等，都有快速生成算法，如画直线的Bresenham算法，DDA算法，画圆的Bresenham算法，中点法，正负法，Pitterway的椭圆及抛物线绘制算法等等。B样条曲线是CAD和工程绘图中常见的一种自由曲线，有着广泛的应用，但目前尚无很好的曲线生成算法，因此对B样条曲线的生成算法研究无疑有着重要的意义。现在经常采用的一种算法是基于几何的算法（即线式生成算法），但该算法需使用浮点数运算，以及所绘制的曲线不够细致，曲线光顺性差；另一种算法是基于象素的算法（点式生成算法），由于自由曲线的不确定性，即曲线上每一段的走向是没有规律的，要绘制自由曲线诸如B样条曲线就要更多的依靠计算机自动判断方向，算法的复杂性大，而且这两种算法只适用于低次参数曲线，对于高次参数曲线，效果不佳，通常利用低次参数曲线来逼近，曲线光顺性差；文献[76]提出了一种参数曲线的整数型生成算法：首先将参数曲线转化为隐函数曲线，再利用曲线的正负性来绘制曲线。然而对于高次（大于3次）参数曲线，要消除参数往往是很困难的，且算法中亦不可避免的会使用乘法；文献[77]提供了参数多项式曲线的快速逐点生成算法，这些算法对Bézier曲线的绘制，能起到很好的绘制作用，但是对于B样条曲线，必须先将B样条基函数转换成多项式的代数基，再通过代数基与Bernstein基间的变换矩阵，把原式用Bernstein基表示，这一过程计算量大，降低了B样条曲线生成的速度和效率。 本文给出了B样条曲线的一种快速直接逐点生成算法。不需要通过矩阵变换把B样条曲线转为Bernstein基表示，减少计算量，而且该算法对均匀和非均匀B样条参数曲线；对低次B样条曲线和高次B样条曲线都适用，算法速度快，效率高.我们知道当节点矢量的两端节点均为k重节点且无内节点时，B样条基函数退化为Bemstein多项式，因此该生成算法还可推广到B能ier曲线中，具有广泛的应用价值、 同样地，在CAD和cAGD中，有理B样条曲线，特别是非均匀有理B样条曲线（N URBS）已经成为曲线曲面设计中最广为流行的技术，然而对这些曲线目前也尚无很好的曲线生成算法，因此有理B样条曲线的生成算法无疑有着更重要的意义.现在经常采用的算法也是基于几何的算法（即线式生成算法）和基于像素的算法（点式生成算法）;文献【78]提供了一种有理参数曲线的快速逐点生成算法，该算法对有理B吮ier曲线的绘制，能起到很好的作用，但是对于有理B样条曲线，必须先通过多项式的代数基与Bemstein基间的变换矩阵，把原式用Bemstein基表示，这一过程由于计算量大，降低了曲线生成的速度和效率. 本文给出了有理B样条曲线的一种新的直接快速逐点生成算法，不需要通过矩阵变换转为Bemstein基表示，减少了计算量，提高了曲线生成速度;对均匀和非均匀任意次有理B样条曲线都适用.我们知道当节点矢量的两端点均为k重节点且无内节点时，B样条基函数可退化为Bemstein多项式，因此该算法可推广到有理B能ie:曲线中，具有广泛的应用价值. 自由曲线设计中，B6zie:曲线是一种重要的参数多项式曲线.该曲线是于1962年B能ier提出的一种以逼近为基础的曲线，通过Berstein多项式而得到.随着曲线和曲面研究的发展和深入，人们又提出了许多类似于B己zie:曲线的曲线.诸如文献[41】提出了C一B6zier曲线，该曲线以:sn乙eos乙r，l为基函数;文献[421提出了intervalB能ie:曲线，该曲线用一矩形区域来代替控制点尸:曲线;还有文献【43]对Beostein基函数进行了推广，将Bemstein基函数中的次数n由正数推广到负数，且讨论了由该基函数所生成的曲线.这些曲线的出现，大大丰富了自由曲?

李重,黄敏,韩丹夫^[6]（2003）在《Bernstein多项式推广及其所生成的拟Bézier曲线》文中认为文章对Bernstein多项式进行推广,用函数f（t）代替变量t,所生成的拟Bézier曲线不仅拥有与Bézier曲线相类似的性质,而且能产生一些好的特性,如通过调节因子可以改变拟Bézier曲线的次数,使拟Bézier曲线拼接时有更大的自由度和灵活性,有一定的应用和研究价值。

二、Bernstein多项式推广及其所生成的拟Bézier曲线（论文开题报告）

（1）论文研究背景及目的

此处内容要求：

首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。

写法范例：

本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。

（2）本文研究方法

调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。

观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。

实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。

文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。

实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。

定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。

定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。

跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。

功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。

模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。

三、Bernstein多项式推广及其所生成的拟Bézier曲线（论文提纲范文）

（1）含形参Bézier曲线曲面造型的扩展研究（论文提纲范文）

（2）带两个参数的拟Bézier曲线（论文提纲范文）

（3）Kantorovich算子推广与函数逼近问题（论文提纲范文）

（4）中国图形工程:2003（论文提纲范文）

（5）常用自由曲线中的一些问题研究（论文提纲范文）

（6）Bernstein多项式推广及其所生成的拟Bézier曲线（论文提纲范文）

四、Bernstein多项式推广及其所生成的拟Bézier曲线（论文参考文献）

• [1]含形参Bézier曲线曲面造型的扩展研究[D]. 葸海英. 西北师范大学, 2015(01)
• [2]带两个参数的拟Bézier曲线[J]. 葸海英,张贵仓. 计算机科学, 2014(S2)
• [3]Kantorovich算子推广与函数逼近问题[D]. 于巍. 辽宁师范大学, 2006(11)
• [4]中国图形工程:2003[J]. 潘志庚,胡小强. 中国图象图形学报, 2004(06)
• [5]常用自由曲线中的一些问题研究[D]. 李重. 浙江大学, 2003(04)
• [6]Bernstein多项式推广及其所生成的拟Bézier曲线[J]. 李重,黄敏,韩丹夫. 计算机工程与应用, 2003(02)

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